Come Around Sundown foi bem recebido pelos criticos. De dezenove reviews, o website Metacritic deu ao álbum 66% de aprovação, que indica "uma recepção favoravel".[4] Junto com seu predecessor, Only By the Night, esse é o pior índice de aproveitamento de um álbum da banda, enquanto Youth and Young Manhood e Because of the Times ganharam 79%.[14]
O álbum estreou em primeiro lugar na Alemanha, Austrália, Áustria, Bélgica (Flanders), Canadá, Escócia, Irlanda, Suíça e no Reino Unido. Na Inglaterra, o álbum vendeu 183 mil unidades na primeira semana, a maior quantidade de cópias vendias por um álbum em uma semana no Reino Unido em 2010 até o momento, além de quebrar o recorde de maior número de downloads digitais de um álbum com mais de 49 mil downloads
